Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności dla równań różniczkowych zwyczajnych

Niech \( \hskip 0.3pc x=(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{R}, \hskip 0.3pc \) przez \( \hskip 0.3pc\|x\| \hskip 0.3pc \) będziemy oznaczać normę w \( \hskip 0.3pc \mathbb{R}^n \hskip 0.3pc \)określoną następująco:

\( \|x\|=\max\{\,|x_1|,\ldots ,|x_n|\,\}. \)

Niech \( \hskip 0.3pc I\times \Omega\subset \mathbb{R}^{n+1} \hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc I \hskip 0.3pc \) przedział w \( \hskip 0.3pc \mathbb{R} \hskip 0.3pc \)a \( \hskip 0.3pc\Omega \hskip 0.3pc \) podzbiór w \( \hskip 0.3pc \mathbb{R}^n. \)

Definicja 1:

Mówimy, że funkcja \( \hskip 0.3pc f : \)

\( I\times \Omega\ni (t,x)\rightarrow f(t,x)=(f_1(t,x),\ldots ,f_n(t,x))\in \mathbb{R}^n \)

spełnia warunek Lipschitza ze względu na \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \) jeżeli

\( \exists L>0\,\forall (t,x),\,(t,\tilde {x})\in I\times \Omega:\hskip 0.5pc \|f(t,x)-f(t,\tilde{x})\|\le L\|x-\tilde{x}\|. \)

Uwaga 1:

Jeżeli funkcja \( \hskip 0.3pc f \hskip 0.3pc \) jest ciągła i pochodne cząstkowe \( \hskip 0.3pc \frac{\partial f_i }{\partial x_j },\hskip 0.5pc i,j=1,\ldots,n \hskip 0.3pc \) są ciągłe i ograniczone w \( \hskip 0.3pc I\times \Omega \hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc \)jest zbiorem wypukłym, to funkcja \( \hskip 0.3pc f \hskip 0.3pc \) spełnia warunek Lipschitza ze względu na \( \hskip 0.3pc x. \)
Istotnie dla dowolnego \( \hskip 0.3pc i\in\{1,\ldots,n\} \hskip 0.3pc \)i dowolnych ustalonych punktów \( \hskip 0.3pc (t,x),\,(t,\tilde {x})\in I\times \Omega \hskip 0.3pc \) definiujemy funkcję \( \hskip 0.3pc F_i:[0,1]\rightarrow \mathbb{R} \hskip 0.3pc \) następująco:

\( F_i(s):=f_i(t,s\cdot x+(1-s)\cdot \tilde{x}). \)

Funkcja \( \hskip 0.3pc F_i \hskip 0.3pc \) spełnia założenia Twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej. Istnieje \( \hskip 0.3pc\Theta_i\in(0,1) , \hskip 0.3pc \) taka, że

\( F_i(1)-F_i(0)=F_i^{\prime}(\Theta_i). \)

Stąd i definicji funkcji \( \hskip 0.3pc F_i \hskip 0.3pc \) wynika, że

\( f_i(t,x)-f_i(t,\tilde{x})=\frac{ \partial f_i}{\partial x_1 }(t,\Theta_i\cdot x +(1-\Theta_i)\cdot \tilde{x})\cdot(x_1- \tilde{x_1})+\cdots +\frac{ \partial f_i}{\partial x_n }(t,\Theta_i\cdot x +(1-\Theta_i)\cdot \tilde{x})\cdot(x_n- \tilde{x_n}) \)

Przyjmując

\( M=\sup\{\, |\frac{ \partial f_i}{\partial x_j }(t,x)|,\hskip 0.6pc (t,x)\in I\times \Omega,\hskip 0.5pc i,j=1,\ldots,n\} \)

otrzymujemy, że

\( |f_i(t,x)-f_i(t,\tilde{x})|\le n\cdot M\|x-\tilde{x}\|. \)

Dla \( \hskip 0.3pc L=n\cdot M \hskip 0.3pc \) zachodzi nierówność:

\( \|f(t,x)-f(t,\tilde{x})\|=\max\{\,|f_1(t,x)-f_1(t,\tilde{x})|,\ldots ,,|f_n(t,x)-f_n(t,\tilde{x})|\,\}\le L\|x-\tilde{x}\| \)

co należało dowieść.

Uwaga 2:

Problem początkowy

(1)

\( x^\prime (t)=f(t,x(t)),\hskip 0.8pc x(t_0)=x_0 \)

jest równoważny następującemu równaniu całkowemu

(2)

\( x(t)=x_0+\displaystyle\int_{t_0}^tf(s,x(s))ds. \)

Twierdzenie 1: O istnieniu i jednoznaczności

ZAŁOŻENIA:

Niech \( \hskip 0.3pc f(t,x) \hskip 0.3pc \)będzie funkcją ciągłą określoną na zbiorze \( \hskip 0.3pc\Omega =\{\,(t,x)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}^n:\hskip 0.6pc |t-t_0|\le a,\hskip 0.5pc\|x-x_0\|\le b\,\} \hskip 0.3pc \)o wartościach w \( \hskip 0.3pc \mathbb{R}^n \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc M=\max\{\,\|f(t,x)\|,\hskip 0.4pc (t,x)\in\Omega\,\}, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc\alpha=\min \{\,a,\hskip 0.3pc \frac{b }{M }\,\}. \hskip 0.3pc \) Ponadto zakładamy, że funkcja \( \hskip 0.3pcf \hskip 0.3pc \)spełnia warunek Lipschitza ze względu na \( \hskip 0.3pc x \)

TEZA:

Problem poczatkowy ( 1 ) ma dokładnie jedno rozwiązanie \( \hskip 0.3pc x(t) \hskip 0.3pc \) określone na przedziale \( \hskip 0.3pc I=[t_0-\alpha,\,t_0+\alpha ]. \hskip 0.3pc \)

Rozwiązanie \( \hskip 0.3pc x(t) \hskip 0.3pc \) jest granicą jednostajną następującego ciągu przybliżeń Picarda:

(3)

\( x_0(t)=x_0,\hskip 0.8pc x_{n+1}(t)=x_0+\displaystyle\int_{t_0}^tf(s,x_n(s))ds. \)

DOWÓD:

Ponieważ \( \hskip 0.3pc f \hskip 0.3pc \) jest funkcją ciągłą więc funkcje określone zależnością ( 3 ) są ciągłe.

Pokażemy, że dla każdego \( \hskip 0.3pc n=0,\,1,\ldots \hskip 0.3pc \) zachodzi nierówność:

(4)

\( \|x_n(t)-x_0\|\le b,\hskip 0.7pc t\in I. \)

Istotnie

\( \|x_{n+1}(t)-x_0\|=\|\displaystyle\int_{t_0}^tf(s,x_n(s))ds\|\le |\displaystyle\int_{t_0}^t\|f(s,x_n(s))\|ds|\le |\displaystyle\int_{t_0}^tMds|= M|t-t_0|\le b. \)

Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykażemy, że dla każdego \( \hskip 0.3pc n\in \{0,\,1,\,2,\,\ldots \}\hskip 0.3pc \)

(5)

\( \|x_{n+1}(t)-x_n(t)\|\le \dfrac{ML^n|t-t_0|^{n+1} }{(n+1)! },\hskip 1pc t\in I. \)

Dla \( \hskip 0.3pc n=0 \hskip 0.3pc \) mamy, że

\( \|x_1(t)-x_0(t)\|=\|\displaystyle\int_{t_0}^tf(s,x_0)ds\|\le |\displaystyle\int_{t_0}^y\|f(s,x_0)\|ds|\le |\displaystyle\int_{t_0}^tMds|= M|t-t_0|,\hskip 0.7pc t\in I, \)

zatem dla \( \hskip 0.3pc n=0 \hskip 0.3pc \) nierówność ( 5 ) jest prawdziwa.
Zakładamy teraz prawdziwość nierówności ( 5 ) dla \( \hskip 0.3pc k=1,\hskip 0.3pc\ldots, n-1. \hskip 0.3pc \) Z powyższego założenia i własności funkcji \( \hskip 0.3pc f \hskip 0.3pc \)wynika prawdziwość ( 5 ) dla \( \hskip 0.3pc n : \)

\( \begin{aligned}\|x_{n+1}(t)-x_n(t)\|= &\| \displaystyle\int_{t_0}^t \left(f(s,x_n(s))-f(s,x_{n-1}(s))\right)ds\|\le |\displaystyle\int_{t_0}^t \|f(s,x_n(s))-f(s,x_{n-1}(s))\|ds|\le\\&|\displaystyle\int_{t_0}^tL\|x_n(s)-x_{n-1}(s)\|ds|\le L|\displaystyle\int_{t_0}^t \dfrac{ML^{n-1}|s-t_0|^n }{n! }ds|=\dfrac{ ML^n}{(n+1)! }|t-t_0|^{n+1},\end{aligned} \)

zatem z zasady indukcji matematycznej wynika prawdziwość ( 5 ) dla wszystkich licz naturalnych.
Z nierówności ( 5 ) wynika, że

\( \|\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (x_{n+1}(t)-x_n(t))\|\le \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \|x_{n+1}(t)-x_n(t)\|\le \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{ML^n|t-t_0|^{n+1} }{ (n+1)!}\le \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{ML^n\alpha^{n+1} }{(n+1)! },\hskip 1pc t\in I. \)

Z kryterium d'Alamberta wynika, że szereg liczbowy

\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{ML^n\alpha^{n+1} }{(n+1)! } \)

jest zbieżny, więc szereg funkcyjny

\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty(x_{n+1}(t)-x_n(t)) \)

jest jednostajnie zbieżny w \( \hskip 0.3pc I. \hskip 0.3pc \)
Ponieważ

\( x_n(t)=x_0+\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(x_{n+1}(t)-x_n(t)), \)

zatem ciąg funkcji \( \hskip 0.3pc \{ x_n(t),\hskip 0.7pc n=0,\,1,\ldots\} \hskip 0.3pc \) jest zbieżny jednostajnie w \( \hskip 0.3pc I. \) Granicę tego ciągu oznaczmy przez \( \hskip 0.3pcx(t). \hskip 0.3pc \)
Jeżeli w zależności ( 3 ) przejdziemy z \( \hskip 0.3pc n \hskip 0.3pc \) do nieskończoności to otrzymamy:

\( x(t)=\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n+1}(t)=x_0+\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\int_{t_0}^tf(s,x_n(s))ds= x_0+\displaystyle\int_{t_0}^t\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(s,x_n(s))ds=x_0+\displaystyle\int_{t_0}^tf(s,x(s))ds. \)

Stąd i uwagi 2 wynika, że \( \hskip 0.3pc x(t) \hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem problemu poczatkowego ( 1 ) i kończy to dowód istnienia rozwiązania problemu ( 1 )
Pokażemy teraz, że problem poczatkowy ( 1 ) posiada dokładnie jedno rozwiązanie.
Niech \( \hskip 0.3pc y(t) \hskip 0.3pc \)będzie dowolnym rozwiązaniem problemu ( 1 ) zatem na mocy uwagi 2:

\( y(t)=x_0+\displaystyle\int_{t_0}^tf(s,y(s))ds. \)

Stosując zasadę indukcji matematycznej pokażemy, że

(6)

\( \|x_{n}(t)-y(t)\|\le \dfrac{ML^n|t-t_0|^{n+1} }{(n+1)! },\hskip 1pc t\in I,\hskip 0.7pc n=0,\,1,\ldots,. \)

Dla \( \hskip 0.3pc n=0 \hskip 0.3pc \) mamy, że

\( \|y(t)-x_0(t)\|=\|\displaystyle\int_{t_0}^tf(s,y(s))ds\|\le |\displaystyle\int_{t_0}^t\|f(s,y(s))\|ds|\le |\displaystyle\int_{t_0}^tMds|\le M|t-t_0|,\hskip 0.7pc t\in I, \)

więc nierówność ( 6 ) jest prawdziwa.

Zakładamy teraz prawdziwość nierówności ( 6 ) dla \( \hskip 0.3pc k=1,\hskip 0.3pc\ldots, n-1. \hskip 0.3pc \) Stąd i własności funkcji \( \hskip 0.3pc f \hskip 0.3pc \)wynika prawdziwość ( 6 ) dla \( \hskip 0.3pc n : \)

\( \begin{aligned}\|x_{n}(t)-y(t)\|= &\|\displaystyle\int_{t_0}^t \left(f(s,x_{n-1}(s))-f(s,y(s))\right)ds\|\le |\displaystyle\int_{t_0}^t \|f(s,x_{n-1}(s))-f(s,y(s))\|ds|\le\\&|\displaystyle\int_{t_0}^tL\|x_{n-1}(s)-y(s)\|ds|\le L|\displaystyle\int_{t_0}^t \dfrac{ML^{n-1}|s-t_0|^n }{n! }ds|=\dfrac{ ML^n}{(n+1)! }|t-t_0|^{n+1},\end{aligned} \)

zatem z zasady indukcji matematycznej wynika prawdziwość ( 6 ) dla wszystkich licz naturalnych \( \hskip 0.3pc n \) .
Ponieważ ciąg funkcji \( \hskip 0.3pc \{ x_n(t),\hskip 0.7pc n=0,\,1,\ldots\} \hskip 0.3pc \) jest zbieżny jednostajnie w \( \hskip 0.3pc I. \) do \( \hskip 0.3pc x(t), \hskip 0.3pc \)więc z ( 6 ) wynika, że

\( \|x(t)-y(t)\|=\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_n(t)-y(t)\|\le \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{ML^n|t-t_0|^{n+1} }{(n+1)! }\le \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{ML^n\alpha^{n+1} }{(n+1)! }=0, \)

zatem \( \hskip 0.3pc x(t)=y(t) \hskip 0.3pc \) co kończy dowód jednoznaczności.

Uwaga 3:

Z zależności ( 6 ) wynika następująca ocena dokładności \( \hskip 0.3pc n- \)tego przybliżenia ciągu Picarda od rozwiązania rzeczywistego:

\( \|x_{n}(t)-x(t)\|\le \dfrac{ML^n|t-t_0|^{n+1} }{(n+1)! },\hskip 1pc t\in I. \)

Twierdzenie 2: O istnieniu i jednoznaczności rozwiązań dla równań liniowych rzędu wyższego

ZAŁOŻENIA:

Niech funkcje \( \hskip 0.3pc f(t)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc a_{k}(t),\hskip 0.5pc {\rm gdzie} \hskip 0.3pc k=0,\ldots ,n,\hskip 0.3pc \) będą ciągłe i określone w przedziale \( \hskip 0.3pc I\subset \mathbb{R}\hskip 0.3pc , \) ponadto \( a_n(t) \neq 0, \) dla każdego \( \hskip 0.3pc t\in I. \)

TEZA:

Wtedy problem początkowy

(7)

\( \begin{cases}a_{n}(t)y^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots + a_{1}(t)y^{\prime}(t)+a_{0}(t)y(t)=f(t), & t\in I , \\ y(t_0)=b_0,\;y^{\prime}(t_0)=b_1,\ldots ,y^{(n-1)}(t_0)=b_{n-1} & \end{cases} \)

gdzie \( \hskip 0.3pc t_0\in I \), zaś \( \hskip 0.3pc b_0,...,b_{n-1}\hskip 0.3pc \)- są to dowolne stałe, posiada dokładnie jedno rozwiązanie określone w przedziale \( I \).

DOWÓD:

Wprowadzając następujące zmienne:

\( x_1=y,\hskip 0.3 pc\hskip 0.3 pc x_2=y^\prime,\ldots,x_n=y^{(n-1)}, \)

problem początkowy ( 7 ) można zapisać w postaci układu równań

(8)

\( \begin{cases} x_1^\prime(t)=x_2(t)&\\x_2^\prime(t)=x_3(t)&\\ \hskip 0.3 pc\vdots &\\ x_{n-1}^\prime(t)=x_n(t) &\\x_n^\prime(t)=-\frac{a_0(t) }{a_n(t) }\cdot x_1(t)-\cdots -\frac{a_{n-1}(t) }{a_n(t) }\cdot x_n(t)+\frac{f(t) }{a_n (t)}&\end{cases} \)

z warunkiem początkowym

(9)

\( x_1(t_0)=b_0,\, \ldots , \,x_n(t_0)=b_{n-1}. \)

Z twierdzenia 1 wynika, że problem początkowy ( 8 ), ( 9 ) posiada dokładnie jedno rozwiązanie, co kończy dowód twierdzenia.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności dla równań różniczkowych zwyczajnych

Definicja 1:

Uwaga 1:

Uwaga 2:

Twierdzenie 1: O istnieniu i jednoznaczności

ZAŁOŻENIA:

TEZA:

DOWÓD:

Uwaga 3:

Twierdzenie 2: O istnieniu i jednoznaczności rozwiązań dla równań liniowych rzędu wyższego

ZAŁOŻENIA:

TEZA:

DOWÓD: